Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12):Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3+ 3x2– 36x – 10 ; b) y = x4+ 2x2– 3;

Lời giải

a)TXĐ: D = R

y’ = 6x2+ 6x – 36 = 6(x2+ x – 6)

y’ = 0 => x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54).

b)TXĐ: D = R

y’= 4x3+ 4x = 4x(x2+ 1) = 0; y’ = 0 => x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là (0; -3).

c)TXĐ: D = R {0}

y’ = 0 => x = ±1

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực đại là xCĐ= -1 và điểm cực tiểu là xCT= 1.

d)TXĐ: D = R

y’= 3x2(1 – x)2– 2x3(1 – x) = x2(5x2– 8x + 3)

y’ = 0 => x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại xCĐ= 3/5 và điểm cực tiểu xCT= 1

(Lưu ý:x= 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

Vậy D = R.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có điểm cực tiểu xCT= 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12):Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4– 2x2+ 1 ; b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ; d) y = x5– x3– 2x + 1

Lời giải:

a)TXĐ: D = R.

y’ = 4x3– 4x

y’= 0 => x = 0; x = ±1.

y” = 12x2– 4

y”(0) = -1 < 0 => x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y”(±1) = 8 > 0 > x = -1 và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b)TXĐ: D = R

y’ = 2cos2x – 1;

c)TXĐ: D = R

d)TXĐ: D = R

y’= 5x4– 3x2– 2

y’ = 0 => x ±1.

y” = 20x3– 6x

y”(-1) = -20 + 6 = -14 < 0 => x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y”(1) = 20 – 6 = 14 > 0 => x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12):Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Tính theođịnh nghĩa đạo hàmtại xo= 0 ta có:

Nghĩa là hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0. (1)

Mặt khác ta có: √|x| ≥ 0 ∀ x. Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Do đó hàm số y = √|x| đạt cực tiểu tại x = 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12):Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3– mx2– 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

Xét hàm số y = x3– mx2– 2x + 1 ta có:

TXĐ: D = R

y’ = 3x2– 2mx – 2

Với mọi giá trị của m ta đều có x1< 0 < x2.

Bảng biến thiên:

Từ bảng trên ta thấy hàm số luôn có một điểm cực đại xCĐ= x1và một điểm cực tiểu xCT= x2với mọi giá trị của m (đpcm).